Modelación matemática y computacional: la respuesta al anhelo ancestral de predecir a la naturaleza

La modelación matemática y computacional (MMC) constituye uno de los pilares fundamentales de la ciencia contemporánea. Gracias a ella, los investigadores pueden predecir satisfactoriamente el comportamiento de muchos sistemas desde el clima, pozos petroleros, volcanes, acuíferos hasta la interacción de galaxias. Los sistemas que pueden modelarse matemáticamente y computacionalmente son de interés para una gran diversidad de disciplinas, entre ellas de manera importante las ciencias de la Tierra y de la atmósfera.

Ismael Herrera ha dedicado su vida a las matemáticas aplicadas, de hecho, se le reconoce como el matemático aplicado más importante de México. El doctor Herrera Revilla es investigador emérito del Instituto de Geofísica de la UNAM. Sus contribuciones a la ciencia, en especial a la modelación matemática de sistemas geofísicos, le han hecho acreedor del Premio Nacional de Ciencias y el Premio de la Academia Mexicana de Ciencias.

Actualmente es editor de la revista Numerical Methods for Partial Differential Equations, y presidente de la Sociedad Mexicana de Métodos Numéricos en Ingeniería y Ciencias Aplicadas. Una de las más recientes contribuciones de Ismael Herrera a la enseñanza de la simulación matemática es su libro Mathematical Modeling in Science and Engineering: An Axiomatic Approach, publicado por la editorial Wiley con la colaboración del doctor George F. Pinder, pionero mundial de la simulación matemática y computacional en el área de geociencias.

¿Qué es la modelación matemática y computacional?

En ocasiones, cuando me han preguntado, digo que la modelación matemática y computacional es la respuesta contemporánea al anhelo ancestral de predecir el comportamiento de la naturaleza.

Una de las grandes aspiraciones del hombre es poder predecir lo que va a suceder, de hecho, este ha sido un motor de la ciencia. Inicialmente, el ser humano recurrió al pensamiento mágico y supersticioso, pero, después de algún tiempo, se dio cuenta de que la forma de predecir y dominar el comportamiento de la naturaleza era desarrollando la ciencia y el conocimiento.

Ese conocimiento, en la actualidad se integra en modelos matemáticos. Estos se expresan mediante ecuaciones y símbolos matemáticos. Algunos de los sistemas que modelamos son la atmósfera, los huracanes, los océanos, la corteza de la tierra, u otras estructuras como los acuíferos, donde se almacena el agua subterránea que utilizamos.

Los modelos matemáticos incorporan conocimientos científicos como las leyes generales de la naturaleza y también conocimientos tecnológicos, por ejemplo mediciones de campo, propiedades de los suelos o la composición química de un lugar.

Cuando queremos modelar un sistema, lo primero que hacemos es desarrollar un modelo matemático en el cual se incorporan los conocimientos científicos. Sin estos conocimientos no podríamos obviamente predecir el comportamiento de los sistemas de interés.

Pero los conocimientos científicos por sí solos tampoco son suficientes, tenemos que incorporarlos en modelos matemáticos, que en general son ecuaciones. Muchos de los sistemas a los que me he referido se modelan matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales parciales. Estas son la médula de los modelos matemáticos.

Por si solos, los modelos matemáticos tampoco nos permiten predecir el comportamiento de la naturaleza, para lograrlo necesitamos obtener las soluciones de estas ecuaciones. Es ahí donde entra la modelación computacional.

¿Cómo se integran la modelación matemática y computacional?

Un primer paso es transformar esas ecuaciones diferenciales parciales en un sistema que tenga un número finito de grados de libertad, esto significa que el sistema dependa de un número finito de variables: podemos tener sistemas de tres, diez o mil variables. Algunas de esas ecuaciones requieren millones de variables.

Una ecuación sencilla tiene una sola incógnita, un sistema de tres variables generalmente tiene 3 incógnitas. Pero cuando se trata de modelar sistemas de la realidad se requiere transformar las ecuaciones diferenciales en sistemas de ecuaciones que involucran un número muy grande de incógnitas, pueden ser millones. Para pasar de una ecuación diferencial parcial a un sistema con un número finito de grados de libertad se hace por medio de métodos numéricos.

En 1985 fundé una revista que se publica en Nueva York por la editorial Wiley y sigo siendo editor de esa revista, se llama Numerical Methods for Partial Differential Equations, ahí hablamos de los métodos numéricos que son el instrumento indispensable para aprovechar los modelos matemáticos.

Para modelar un sistema, tenemos ya un sistema de ecuaciones que puede tener millones de incógnitas, ahora hay que resolverlas. Cuando íbamos en la secundaria a veces resolvíamos sistemas de ecuaciones de tres incógnitas y hacer las operaciones para resolverlas era pesado y latoso, como aquí son millones de incógnitas, les pasamos las operaciones a las computadoras para que ellas las hagan.

Para que la computadora haga este trabajo, tenemos procedimientos y desarrollamos software. Por eso hablamos de modelación matemática y computacional.

¿Antes de que hubiera computadoras cómo era la modelación matemática?

Resolver los modelos matemáticos actuales a mano sería imposible. De hecho, este tipo de modelos se han creado aún antes de que se desarrollaran las computadoras, pero para sistemas muy sencillos. Por ejemplo, hay soluciones para la ecuación de onda. Esa ecuación de onda es la que regula o la que gobierna el comportamiento del sonido. Sí se puede desarrollar la solución para esa ecuación y dar respuestas, pero eso sería suponiendo que todo el espacio fuera homogéneo. Con esta ecuación se descubrió cuál era la velocidad del sonido teóricamente, porque además se puede saber cuál es su velocidad experimentalmente. El experimento se ligó con la teoría a través de esas ecuaciones.

Estas son situaciones muy sencillas, los sistemas reales son más complicados; un yacimiento petrolero, por ejemplo, no es homogéneo, las propiedades del sistema cambian de un punto a otro. Tratar con problemas reales, solo puede hacerse mediante las computadoras que en estos días ya tienen mucha capacidad.

¿Podría dar algunos ejemplos de sistemas que se pueden modelar matemáticamente?

En la Ciudad de México, por ejemplo, el 70 por ciento del suministro de agua es de origen subterráneo. Para poder aprovecharla en forma eficaz predecimos el comportamiento de los acuíferos, es decir que hacemos estudios que nos permiten predecir qué va a pasar cuando perforamos un pozo, qué pasará con los contaminantes que arrojamos, si se va a contaminar toda el agua o cómo hacemos para controlar esa contaminación que es en cierta medida inevitable. Todo eso lo queremos manejar de la manera más eficaz posible y sólo es posible prediciendo cómo se comportará un acuífero.

Esto es cierto para los acuíferos pero también para un yacimiento petrolero. Sabemos que los yacimientos petroleros están declinando su producción y por lo mismo necesitamos manejarlos eficazmente para poder mantener el suministro, independientemente de la necesidad de buscar nuevos recursos energéticos.  Los yacimientos que ya tenemos, podemos hacerlos rendir más si los manejamos bien y esto se logra si prevemos o predecimos qué va a suceder si los explotamos de una u otra manera.

Los métodos conocidos como de recuperación mejorada son una forma de hacer rendir los yacimientos petroleros muy por encima del rendimiento que se obtendría sin esos métodos. Hay yacimientos que pueden rendir incluso el doble. Estos métodos se aplican a través de las predicciones hechas con modelos matemáticos.

La industria automotriz también hace modelos matemáticos para evaluar sus vehículos. Hablando de ergonomía y comodidad, para probar un automóvil se pueden construir muchos hasta que sea satisfactorio el diseño, o bien se pueden construir muchos modelos matemáticos del automóvil y escoger el que mejor funcione a través de modelos matemáticos. La segunda opción es más económica.

Otro es el caso de galaxias, que también se modelan matemáticamente. En el laboratorio no se pueden hacer experimentos, porque simplemente los tiempos del Universo son millones de años, pero podemos hacer modelos matemáticos computacionales.

¿Qué tan buenos son los modelos matemáticos para predecir la realidad?

Los modelos matemáticos son tan efectivos que los países avanzados le dedican muchísimo esfuerzo a este tipo de conocimiento. Lo hacen porque saben que les beneficia. La compañías petroleras internacionales han destinado, desde hace muchos años, una gran cantidad de recursos a esta clase de estudios porque obtienen grandes ganancias.

Cuando hice mi doctorado en la Universidad de Brown, en la División de Matemáticas Aplicadas, pasé dos veranos en las subsidiarias de investigación de la Standard Oil de Nueva Jersey, una en Los Ángeles y la otra en Tulsa, en Oklahoma. Desde aquel entonces estas compañías tenían laboratorios permanentes que estudiaban cómo esos métodos podían hacer rendir el petróleo. Estamos hablando de millones y millones de pesos.

En muchas ocasiones los modelos se comprueban con experimentos para constatar que están dando resultados satisfactorios, de tal manera que la modelación matemática computacional no es una evaluación subjetiva sino objetiva.

¿Por qué se dice que la modelación matemática y computacional es un nuevo pilar de la ciencia?

Las ventajas de este modo de proceder son evidentes y los avances en este campo tan importantes y tan grandes que la ciencia contemporánea ya no descansa sólo en dos pilares que son la teoría y la experimentación sino en una tercera columna que es la simulación matemática y computacional.

Los modelos matemáticos sustituyen en muchos casos al experimento, además de que tienen la ventaja de que son más económicos y más eclécticos, es decir, que se les puede cambiar con mayor facilidad. Si construimos un modelo de laboratorio y le queremos cambiar algo, en muchas ocasiones tenemos que construir otro modelo o reconstruirlo, lo que es muy costoso y requiere de un gran esfuerzo.

Por el contrario, si queremos cambiar las propiedades de un modelo matemático computacional, le modificamos un archivo de computadora. Podemos tener previstos todos los experimentos que queremos hacer y simplemente el propio archivo, la propia computadora, va cambiando las propiedades del modelo.

¿Qué distingue su libro de otros que existen sobre el mismo tema?

Para acercar a los estudiantes y a otras personas interesadas en el tema impartimos en la UNAM, en el posgrado en Ciencias de la Tierra, un curso que estaba dividido en dos semestres, uno para modelación matemática y otro para modelación computacional. En este curso pusimos a prueba el método axiomático de enseñanza y vimos que daba buenos resultados.

En el curso también formamos a muchas personas, entre ellas especialistas del Instituto Mexicano del Petróleo que antes no sabían modelar matemáticamente yacimientos petroleros y que aprendieron a hacerlo. El libro se basa en el primer semestre del curso.

En el libro se buscan tres objetivos. En primer lugar la generalidad, es decir la unificación de los conceptos, esto es que los conocimientos permitan entender cómo es la modelación matemática en campos muy diversos; por otro lado, busco la sencillez, que lo aparentemente complicado sea fácil de entender; y finalmente la claridad, para que nos podamos mover con seguridad en ese campo del conocimiento. Todo esto se logra enseñando mediante el método axiomático, que es lo que distingue al libro.

¿En qué consiste el método axiomático?

En matemáticas puras se habla mucho del método axiomático, aquí se trata de usarlo en las matemáticas aplicadas. Esta forma de proceder es sumamente poderosa y al usarla en la modelación matemática estamos sacando ventaja de este método de pensamiento en cuestiones de gran interés humano y de gran interés para México en particular.

En el método axiomático, uno selecciona ciertas propiedades del sistema que va a modelar, dichas propiedades pueden ser las mismas o estar presentes en otros sistemas que no son el que pensaba modelar.

Uno obtiene un modelo con base en ese grupo de propiedades, que se les llama axiomas del sistema. Se formula el modelo y se encuentran los resultados que implique. La ganancia es que si hay otros sistemas que satisfacen las mismas propiedades, lo que se encontró para un sistema también es verdad para el otro o los otros.

Cuando hice mi tesis doctoral, el tema fue el flujo supersónico, en esa época estaba en desarrollo la aeronáutica en Estados Unidos. Yo quería estudiar matemáticas aplicadas porque quería que mi trabajo fuera relevante para mi país, pero en México no había industria aeronáutica y pensé que esos conocimientos no tendrían aplicación directa aquí.

Sin embargo, cuando regresé me llevé una sorpresa. El primer problema que trabajé en el Instituto de Ingeniería de la UNAM fue el desarrollo de un modelo para la predicción de ondas de avenida en canales y ríos. La idea era modelar cuando viene una creciente, cómo se propaga en un río o en un canal para prevenir inundaciones y diseñar puentes. El objetivo era predecir cuáles iban a ser las corrientes máximas. Ahí me di cuenta que para predecir una creciente se hace igual que para predecir un frente de un avión supersónico. Tanto uno como el otro satisfacen los mismos axiomas.

Gracias a que tenemos un método axiomático podemos aplicar los conocimientos de un sistema a otros, como en este caso. Sin embargo, esa forma de enseñar no se ha usado en ingeniería ni tampoco cuando se enseña modelación matemática.

Este tipo de innovaciones es para todo el mundo. Por eso nuestro libro fue escrito en inglés y se puso a la venta en Nueva York, editado por John Wiley, una empresa internacional para que las  personas interesadas en ciencia, de todos los países, lo puedan aprovechar.

¿Cómo se espera que cambie la disciplina en el futuro con los adelantos tecnológicos?

Algunos de los cambios más recientes y más importantes en esta área es la computación en paralelo. En la computación en paralelo, una tarea se divide en muchas subtareas que se ejecutan simultáneamente con el objetivo de hacer las operaciones de modo más veloz.

Nosotros presentamos en un congreso internacional, las innovaciones que hemos introducido en la aplicación del cómputo en paralelo para el desarrollo de modelos basados en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales.

Si los conocimientos que poseemos tienen gran generalidad, podemos fácilmente cambiar de una tecnología a otra, por eso es importante la formación de líderes en ingeniería con este método. La ingeniería mexicana tuvo periodos en que brilló mucho, pero actualmente no está en esa etapa, tenemos que hacer mucho para recuperar ese liderazgo.